graph LR
  A --> B
  C -.-> D
  E ==> F

我們用實線代表定義或是分類，用虛線表示必要工具，用粗線代表直接關聯到該主題的問題。所以上面分別代表：

  • A 定義了 B，或是 B 是 A 的子 sub topic
  • D 是 C 的必要工具
  • F 是 E 這個主題會考的題目
graph LR
  Limit ==> Existness[Exist or not]
  Limit --> Continuity ==> checkContinuity[Check if a point is continuous or not]
  Limit --> PD[Partial Derivative] & Differentiability & DD
  Differentiability -.-> PD
  CR[Chain Rules] -.-> PD
  DD[Directional Derivative] -.-> Gradient
  PD --> Gradient
  Gradient ==> MaxDirection[Geometric properties of gradients]
  Gradient ==> LA[Tangent Plane & Linear Approximation]
  Gradient --> CP[Critical Points] 
  SDT[Second Derivative Test] -.-> CP
  LM[Lagrange Multiplier]
  EV[Extreme value problem] --> noRe[No constraint] & Re[With constraint]
  noRe & ineq -.-> SDT
  Re --> eq[Constraint is an equality] & ineq[Constraint is an inequality]
  ineq & eq -.-> LM

考試重點：

  1. 極限是否存在
    1. 如果你想論證極限不存在，可以嘗試令$(x,y)=(at,bt)$或是$(x,y)=(at^n,bt^m)$，並說明極限的結果會依賴於係數$a$與$b$
    2. 如果你想論證極限存在，最簡單的題目會是你可以直接對函數在該點取值，但應該不會考，所以最好用的方法是令$x=r\sin\theta$和$y=r\cos\theta$，如果這個方法不行，請嘗試找一個好的上界去控制函數($\varepsilon-\delta$的論證)。
  2. 函數連續與否，跟一維的時候一樣，只要確認函數在該點的極限是否等於該點的值。
  3. 計算一次與兩次偏微分，還有透過chain rule計算一次與兩次的偏微分(重要!)
  4. 偏微分可以用來幫助判斷函數在某個點是否可以微分，如果一個函數的偏微分在$p$點附近都是連續的，那麼該函數在$p$點可微分。
  5. 梯度的幾何意義非常重要，它可以用來幫助我們計算方向導數以及找到通過某一個點的 level curve/surface 的切線/平面
  6. 除了透過梯度來計算方向導數以外，我們也可以直接透過定義計算方向導數。
  7. 梯度等於零向量的解是 critical points
  8. critical points 是函數有可能出現極值的地方，需要用 second derivative test 來協助判斷
  9. 極限值問題是重要的題目來源，可以大致分類成沒有條件與有條件兩種，有條件的極值問題還可以再分類成條件是等式或不等式
  10. 極限值問題時常以應用題的方式出現，有可能你要自行列出函數或是限制條件。如果你對於找級值方法(the second derivative test and lagrange multipliers)沒有太大的問題，那請花一點時間確認自己有沒有閱讀障礙。
graph 
  iint[Double integral] --> Rectangle & 2DTypes[Type I & II regions] & Polar[Polar coordinate]
  iiint[Triple Integral] --> Box & 3DTypes[Type I, II, and III regions] & Cylin[Cylindrical coordinate] & Spher[Spherical coordinate]
  Fubini[Fubini's theorem] -.-> iint & iiint
  Polar & Cylin & Spher -.-> CV[Change of variable]

考試重點：

  1. (觀念，很重要，但是很難真的出成考題) Fubini’s theorem 的意義類似於 Fundamental theorem of calculus，他告訴我們什麼情況下我們可以把一個二重或三重積分用 iterated integral 來計算。
  2. 高維度積分 101 ，積分的順序影響計算複雜度，選擇正確的順序，積分會相對輕鬆。
  3. 如果看到 separable form 一定要用。
  4. 高維度的積分的技術重點請放在如何進行 Region 的 type 的轉換上。
    1. 如果看到$x^2+y^2$(兩個變數的平方和)，那很有可能是要轉換成 polar/cylindrical coordinate。
    2. 如果看到三個變數的平方和，那很有可能是要換成 sperical coordinate

    3. 比較困難的 Region 轉換可能是類似

      \[\iint_{R_1}f(x,y)dV +\iint_{R_2}f(x,y)dV\]

      然後$R_1$跟$R_2$都沒有辦法換成其他的type來做，大這時候可以要畫一下 $R_1\cup R_2$，然後將聯集用正確的type或是變數變換的方法去處理，換句話說，上面兩個積分都做不動的時候，你應該考慮積分

      \[\iint_{R_1\cup R_2}f(x,y)dV\]

    4. 給一個變數變換$\phi(u,v)=(x(u,v),y(u,v))$，變數變換的積分關係如下：

      \[\iint_{\Phi(R)}f(x,y)dxdy = \iint_{\Phi(R)}f(x,y)\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|dudv\]
      如果題目有告訴你$u$或$v$的範圍($\Phi$的定義域的一個範圍)，那就直接用，例如 webwork 有一個題目說讓$R=\{(x,y) 0\leq x\leq 7, 0\leq y\leq 8\}$是一個 box ，然後給你一個 transformation $\Phi$ 要你對某個函數在$\Phi(R)$上面積分，這題$u$和$v$的範圍就是0到7與0到8，因為$R$是在$\Phi$的定義域，所以$R$的範圍就是我們需要的範圍。如果題目沒有告訴你$u$或$v$的範圍，那我們需要找出$\Phi^{-1}$，然後再慢慢推敲分析出正確的範圍。